方法3：凯莱-哈密顿定理#

参照前述 \(2\) 阶矩阵的方法，可以写出 \(3\) 阶矩阵的特征多项式

\[\begin{split}

\begin{split}p(\lambda)&=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda\end{vmatrix}\\&=-\lambda^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2-\left(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\right)\lambda+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\\&=-\lambda^3+Tr(\pmb{A})\lambda^2-\left(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\right)\lambda+|\pmb{A}|\end{split}

\end{split}\]

令 \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) 为 \(\pmb{A}\) 的特征值，因为这些特征值是特征多项式（上式）的跟，所以：

\[\begin{split}

\begin{split}p(\lambda)&=-(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\\&=-\lambda^3+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2-(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)\lambda+\lambda_1\lambda_2\lambda_3\end{split}

\end{split}\]

因为 \(Tr(\pmb{A})=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\) ，\(Tr(\pmb{A}^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2\) （参阅《机器学习数学基础》第3章3.1.2节矩阵的迹），则：

\[

\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3=\frac{(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)}{2}=\frac{[Tr(\pmb{A})]^2-Tr(\pmb{A}^2)}{2}

\]

又因为 \(|\pmb{A}|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\) ，根据凯莱-哈密顿定理：

\[

p(\pmb{A})=-\pmb{A}^3+Tr(\pmb{A})\pmb{A}^2-\frac{[Tr(\pmb{A})]^2-Tr(\pmb{A}^2)}{2}\pmb{A}+|\pmb{A}|\pmb{I}_3=0

\]

上式乘以 \(\frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^{-1}\) ，得到 \(3\times3\) 矩阵的逆矩阵的矩阵多项式：

\[

\pmb{A}^{-1}=\frac{1}{|\pmb{A}|}\left(\pmb{A}^2-Tr(\pmb{A})\pmb{A}+\frac{[Tr(\pmb{A})]^2-Tr(\pmb{A}^2)}{2}\pmb{I}_3\right)

\]

同时，可以计算 \(\pmb{A}\) 的伴随矩阵：

\[

adj\pmb{A}=\pmb{A}^2-Tr(\pmb{A})+\frac{[Tr(\pmb{A})]^2-Tr(\pmb{A}^2)}{2}\pmb{I}_3

\]