线性方程组的基本概念
线性方程组的基本概念线性方程组的定义线性方程的定义定义：含有 n 个未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1,x2,…,xn 的线性方程是指形如： a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = ba1x1+a2x2+⋯+anxn=b
的方程，其中 a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an 和 bbb 都是已知的常数。
线性方程组的定义定义：含有 n 个未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1,x2,…,xn 的 m 个线性方程组成的方程组：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm称为线性方程组，其中 aija_{ij}aij 和 bib_ibi 都是已知的常数。
线性方程组的分类齐次线性方程组定义：如果线性方程组中所有常数项 bi=0b_i = 0bi=0，即：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0则称该方程组为齐次线性方程组。
非齐次线性方程组定义：如果线性方程组中至少有一个常数项 bi≠0b_i \neq 0bi=0，则称该方程组为非齐次线性方程组。
矩阵表示系数矩阵定义：线性方程组的系数矩阵为：
A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2……⋱…a1na2n⋮amn增广矩阵定义：线性方程组的增广矩阵为：
(A∣b⃗)=(a11a12…a1n∣b1a21a22…a2n∣b2⋮⋮⋱⋮∣⋮am1am2…amn∣bm)(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}(A∣b)=a11a21⋮am1a12a22⋮am2……⋱…a1na2n⋮amn∣∣∣∣b1b2⋮bm矩阵形式定理：线性方程组可以表示为矩阵形式： Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b
其中：
AAA 是系数矩阵x⃗=(x1,x2,…,xn)T\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^Tx=(x1,x2,…,xn)T 是未知数向量b⃗=(b1,b2,…,bm)T\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_m)^Tb=(b1,b2,…,bm)T 是常数项向量解的概念解的定义定义：如果一组数 (c1,c2,…,cn)(c_1, c_2, \dots, c_n)(c1,c2,…,cn) 代入线性方程组后，使所有方程都成立，则称这组数为该线性方程组的解。
解集定义：线性方程组所有解的集合称为该方程组的解集。
解的分类唯一解：方程组有且仅有一个解无穷多解：方程组有无穷多个解无解：方程组没有解线性方程组的等价性等价方程组的定义定义：如果两个线性方程组有相同的解集，则称这两个方程组等价。
等价变换定理：对线性方程组进行以下变换，得到的新方程组与原方程组等价：
交换两个方程的位置用一个非零常数乘以某个方程将某个方程的倍数加到另一个方程上练习题练习 1将线性方程组 {x+2y=53x−y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}{x+2y=53x−y=4 写成矩阵形式。
参考答案解题思路： 确定系数矩阵、未知数向量和常数项向量。
详细步骤：
系数矩阵： A=(123−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}A=(132−1)
未知数向量： x⃗=(xy)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}x=(xy)
常数项向量： b⃗=(54)\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}b=(54)
矩阵形式： (123−1)(xy)=(54)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}(132−1)(xy)=(54)
答案：Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b，其中 A=(123−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}A=(132−1)，x⃗=(xy)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}x=(xy)，b⃗=(54)\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}b=(54)
练习 2判断方程组 {x+y=22x+2y=4\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}{x+y=22x+2y=4 是齐次还是非齐次。
参考答案解题思路： 检查常数项是否全为零。
详细步骤：
第一个方程：x+y=2x + y = 2x+y=2，常数项为 2，不为零第二个方程：2x+2y=42x + 2y = 42x+2y=4，常数项为 4，不为零两个方程的常数项都不为零答案：非齐次线性方程组
练习 3写出方程组 {x+y+z=02x+3y+z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+3y+z=0 的增广矩阵。
参考答案解题思路： 将系数和常数项按顺序排列成矩阵。
详细步骤：
(111∣0231∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}(121311∣∣00)
答案：(A∣b⃗)=(111∣0231∣0)(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}(A∣b)=(121311∣∣00)
练习 4判断方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}{x+y=1x+y=2 是否有解。
参考答案解题思路： 分析两个方程的关系。
详细步骤：
第一个方程：x+y=1x + y = 1x+y=1第二个方程：x+y=2x + y = 2x+y=2两个方程左边相同，右边不同不存在 x,yx, yx,y 同时满足两个方程答案：无解
练习 5证明：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0总是有解。
参考答案解题思路： 利用零向量的性质。
详细步骤：
设 x⃗=0⃗=(0,0,…,0)T\vec{x} = \vec{0} = (0, 0, \dots, 0)^Tx=0=(0,0,…,0)T代入方程：A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}A0=0矩阵与零向量相乘等于零向量所以 x⃗=0⃗\vec{x} = \vec{0}x=0是齐次方程组的解答案：证明完成，零解总是存在